Kolloidales Gold, Mathematisch betrachtet

Mathematische betrachtung vom kolloidalen Nano Gold

Kolloidales Nano Gold (Gold Nanopartikel, AuNPs) wird in der Medizin und Biologie wegen seiner potenziellen entzündungshemmenden, antioxidativen und zellstimulierenden Eigenschaften untersucht. Die wissenschaftlichen Wirkungen lassen sich mathematisch durch verschiedene Modelle beschreiben.

1. Optische Eigenschaften: Plasmonenresonanz

Gold Nanopartikel zeigen eine Oberflächenplasmonenresonanz (SPR), die für ihre bioaktive Wirkung wichtig ist. Die Absorptions- und Streuungseigenschaften lassen sich durch die Mie-Theorie beschreiben:

$$\sigma_{ext} = \sigma_{abs} + \sigma_{sca}$$

mit:

• $\sigma_{ext}$ = Extinktionsquerschnitt (Gesamtlichtwechselwirkung),
• $\sigma_{abs}$ = Absorptionsquerschnitt,
• $\sigma_{sca}$ = Streuquerschnitt.

Die Plasmonenresonanzfrequenz $\omega_p$ der Nanopartikel ist:

$$\omega_p^2 = \frac{Ne^2}{\varepsilon_0 m_e}$$

mit:

• $N$ = Elektronendichte,
• $e$ = Elementarladung,
• $\varepsilon_0$ = elektrische Feldkonstante,
• $m_e$ = Elektronenmasse.

Bedeutung:

• SPR führt zur Erzeugung reaktiver Sauerstoffspezies (ROS), die antioxidative oder oxidative Effekte haben können.
• Diese Resonanz ermöglicht die Verwendung von kolloidalem Gold für gezielte Medizinanwendungen (z. B. in der Krebstherapie).

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2. Interaktion mit biologischen Zellen

Gold Nanopartikel interagieren mit Zellmembranen durch elektrostatische Kräfte. Die Aufnahme in die Zelle kann durch die Langmuir-Kinetik beschrieben werden:

$$\frac{d\theta}{dt} = k_a C (1 - \theta) - k_d \theta$$

mit:

• $\theta$ = Bedeckungsgrad der Zellmembran durch Nanopartikel,
• $C$ = Konzentration der Nanopartikel,
• $k_a$ = Adsorptionsrate,
• $k_d$ = Desorptionsrate.

Lösung dieser Gleichung:

$$\theta(t) = \frac{k_a C}{k_a C + k_d} (1 - e^{-(k_a C + k_d)t})$$

Bedeutung:

• Zeigt, wie schnell und in welcher Menge kolloidales Gold von Zellen aufgenommen wird.
• Die Aufnahmegeschwindigkeit hängt von der Partikelgröße und -ladung ab.

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3. Einfluss auf Zellreaktionen: Oxidativer Stress

Gold Nanopartikel können als Antioxidans wirken, indem sie reaktive Sauerstoffspezies (ROS) neutralisieren oder durch Plasmoneneffekte erzeugen. Die ROS-Konzentration $[ROS]$ in der Zelle kann durch eine Differentialgleichung modelliert werden:

$$\frac{d[ROS]}{dt} = P - k_{elim} [ROS]$$

mit:

• $P$ = ROS-Produktionsrate (abhängig von Gold-Nanopartikel-Interaktion),
• $k_{elim}$ = Eliminationsrate durch zelluläre Antioxidantien.

Lösung:

$$[ROS](t) = \frac{P}{k_{elim}} \left(1 - e^{-k_{elim} t} \right)$$

Bedeutung:

• Bei niedriger $P$-Rate kann kolloidales Gold als Antioxidans wirken.
• Bei hoher $P$-Rate kann es oxidativen Stress induzieren, was Zellschäden oder Apoptose auslösen kann.

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4. Wärmeeffekte: Photothermische Therapie

Gold Nanopartikel können durch Infrarotlicht angeregt werden, wodurch sie Wärme erzeugen. Die Temperaturerhöhung $\Delta T$ durch absorbierte Lichtenergie $Q$ folgt:

$$\Delta T = \frac{Q}{\rho c V}$$

mit:

• $\rho$ = Dichte des Mediums,
• $c$ = Wärmekapazität,
• $V$ = Volumen des behandelten Bereichs.

Bedeutung:

• Dies wird in der Krebstherapie genutzt, um gezielt Tumorzellen zu zerstören.
• Je höher die Partikelkonzentration, desto größer der photothermische Effekt.

Zusammenfassung:

• Die Plasmonenresonanz von kolloidalem Gold spielt eine zentrale Rolle in optischen und therapeutischen Anwendungen.
• Die Aufnahme in Zellen lässt sich durch kinetische Gleichungen modellieren.
• Die antioxidative oder oxidative Wirkung kann mithilfe der ROS-Dynamik beschrieben werden.
• Photothermische Effekte sind durch Energieabsorptionsmodelle vorhersagbar.

Kolloidales Gold ist also ein vielversprechendes Material mit komplexen biologischen Interaktionen, die mathematisch präzise beschrieben werden können.